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G = D45  order 90 = 2·32·5

Dihedral group

metacyclic, supersoluble, monomial, Z-group, 2-hyperelementary

Aliases: D45, C9⋊D5, C5⋊D9, C45⋊1C2, C3.D15, C15.1S3, sometimes denoted D90 or Dih45 or Dih90, SmallGroup(90,3)

Series: Derived ►Chief ►Lower central ►Upper central

Derived series
C1 — C45 — D45
Chief series
C1 — C3 — C15 — C45 — D45
Lower central
C45 — D45
Upper central
C1

Generators and relations for D45
 G = < a,b | a45=b2=1, bab=a-1 >

C1
45C2
C3
C5
15S3
C9
9D5
C15
5D9
3D15
C45
D45

Character table of D45

 class 1235A5B9A9B9C15A15B15C15D45A45B45C45D45E45F45G45H45I45J45K45L
 size 1452222222222222222222222
ρ1111111111111111111111111    trivial
ρ21-11111111111111111111111    linear of order 2
ρ320222-1-1-12222-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1    orthogonal lifted from S3
ρ4202-1+√5/2-1-√5/2222-1+√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1+√5/2    orthogonal lifted from D5
ρ5202-1-√5/2-1+√5/2222-1-√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1-√5/2    orthogonal lifted from D5
ρ620-122ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9-1-1-1-1ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94    orthogonal lifted from D9
ρ720-122ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94-1-1-1-1ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92    orthogonal lifted from D9
ρ820-122ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92-1-1-1-1ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9    orthogonal lifted from D9
ρ9202-1-√5/2-1+√5/2-1-1-1-1-√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1-√5/2-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53    orthogonal lifted from D15
ρ10202-1+√5/2-1-√5/2-1-1-1-1+√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1+√5/2ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5    orthogonal lifted from D15
ρ11202-1+√5/2-1-√5/2-1-1-1-1+√5/2-1-√5/2-1-√5/2-1+√5/2ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5    orthogonal lifted from D15
ρ12202-1-√5/2-1+√5/2-1-1-1-1-√5/2-1+√5/2-1+√5/2-1-√5/2ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ32ζ54-ζ32ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5ζ3ζ54-ζ3ζ5-ζ5-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53-ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52    orthogonal lifted from D15
ρ1320-1-1-√5/2-1+√5/2ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ53+ζ94ζ52    orthogonal faithful
ρ1420-1-1+√5/2-1-√5/2ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ54+ζ92ζ5    orthogonal faithful
ρ1520-1-1+√5/2-1-√5/2ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ54+ζ9ζ5    orthogonal faithful
ρ1620-1-1-√5/2-1+√5/2ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ53+ζ9ζ52    orthogonal faithful
ρ1720-1-1-√5/2-1+√5/2ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ53+ζ92ζ52    orthogonal faithful
ρ1820-1-1+√5/2-1-√5/2ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ54+ζ94ζ5    orthogonal faithful
ρ1920-1-1+√5/2-1-√5/2ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ5+ζ94ζ54    orthogonal faithful
ρ2020-1-1-√5/2-1+√5/2ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ52+ζ9ζ53    orthogonal faithful
ρ2120-1-1-√5/2-1+√5/2ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ98+ζ9-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ52+ζ94ζ53    orthogonal faithful
ρ2220-1-1+√5/2-1-√5/2ζ95+ζ94ζ98+ζ9ζ97+ζ92-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ5+ζ9ζ54    orthogonal faithful
ρ2320-1-1-√5/2-1+√5/2ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ5+ζ92ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ52+ζ92ζ53    orthogonal faithful
ρ2420-1-1+√5/2-1-√5/2ζ98+ζ9ζ97+ζ92ζ95+ζ94-ζ96ζ54+ζ96ζ5-ζ54-ζ93ζ53+ζ93ζ52-ζ53ζ93ζ53-ζ93ζ52-ζ52-ζ93ζ54+ζ93ζ5-ζ54ζ95ζ54+ζ94ζ5ζ98ζ54+ζ9ζ5ζ97ζ52+ζ92ζ53ζ95ζ53+ζ94ζ52ζ98ζ53+ζ9ζ52ζ97ζ53+ζ92ζ52ζ95ζ52+ζ94ζ53ζ98ζ52+ζ9ζ53ζ97ζ54+ζ92ζ5ζ95ζ5+ζ94ζ54ζ98ζ5+ζ9ζ54ζ97ζ5+ζ92ζ54    orthogonal faithful

Smallest permutation representation of D45
►On 45 points
Generators in S45
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45)

(2 45)(3 44)(4 43)(5 42)(6 41)(7 40)(8 39)(9 38)(10 37)(11 36)(12 35)(13 34)(14 33)(15 32)(16 31)(17 30)(18 29)(19 28)(20 27)(21 26)(22 25)(23 24)
 
G:=sub<Sym(45)| (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45), (2,45)(3,44)(4,43)(5,42)(6,41)(7,40)(8,39)(9,38)(10,37)(11,36)(12,35)(13,34)(14,33)(15,32)(16,31)(17,30)(18,29)(19,28)(20,27)(21,26)(22,25)(23,24)>;
 
G:=Group( (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45), (2,45)(3,44)(4,43)(5,42)(6,41)(7,40)(8,39)(9,38)(10,37)(11,36)(12,35)(13,34)(14,33)(15,32)(16,31)(17,30)(18,29)(19,28)(20,27)(21,26)(22,25)(23,24) );
 
G=PermutationGroup([[(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45)], [(2,45),(3,44),(4,43),(5,42),(6,41),(7,40),(8,39),(9,38),(10,37),(11,36),(12,35),(13,34),(14,33),(15,32),(16,31),(17,30),(18,29),(19,28),(20,27),(21,26),(22,25),(23,24)]])
 

D45 is a maximal subgroup of   D5×D9  D135  D45⋊C3  C3⋊D45  C22⋊D45  D225  C5⋊D45
D45 is a maximal quotient of   Dic45  D135  C3⋊D45  C22⋊D45  D225  C5⋊D45

Matrix representation of D45 ►in GL4(𝔽181) generated by

1775000
13112700
0032167
0045167
,
1000
18018000
0010
0055180
G:=sub<GL(4,GF(181))| [177,131,0,0,50,127,0,0,0,0,32,45,0,0,167,167],[1,180,0,0,0,180,0,0,0,0,1,55,0,0,0,180] >;
 

D45 in GAP, Magma, Sage, TeX 

D_{45}
 
% in TeX
 
G:=Group("D45");
 
// GroupNames label
 
G:=SmallGroup(90,3);
 
// by ID
 
G=gap.SmallGroup(90,3);
 
# by ID
 
G:=PCGroup([4,-2,-3,-5,-3,273,245,290,963]);
 
// Polycyclic
 
G:=Group<a,b|a^45=b^2=1,b*a*b=a^-1>;
 
// generators/relations
 

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Subgroup lattice of D45 in TeX
Character table of D45 in TeX

׿
×
⋊
ℤ
𝔽
○
≀
ℚ
◁