direct product, metacyclic, supersoluble, monomial, A-group, 2-hyperelementary
Aliases: D42, C2×D21, C6⋊D7, C14⋊S3, C7⋊2D6, C3⋊2D14, C42⋊1C2, C21⋊2C22, sometimes denoted D84 or Dih42 or Dih84, SmallGroup(84,14)
Series: Derived ►Chief ►Lower central ►Upper central
| C21 — D42 |
Generators and relations for D42
G = < a,b | a42=b2=1, bab=a-1 >
Character table of D42
| class | 1 | 2A | 2B | 2C | 3 | 6 | 7A | 7B | 7C | 14A | 14B | 14C | 21A | 21B | 21C | 21D | 21E | 21F | 42A | 42B | 42C | 42D | 42E | 42F | |
| size | 1 | 1 | 21 | 21 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |
| ρ1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | trivial |
| ρ2 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | linear of order 2 |
| ρ3 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | linear of order 2 |
| ρ4 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | linear of order 2 |
| ρ5 | 2 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | 2 | 2 | 2 | -2 | -2 | -2 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | orthogonal lifted from D6 |
| ρ6 | 2 | 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | orthogonal lifted from S3 |
| ρ7 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | orthogonal lifted from D7 |
| ρ8 | 2 | -2 | 0 | 0 | 2 | -2 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | -ζ74-ζ73 | -ζ76-ζ7 | -ζ75-ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | -ζ74-ζ73 | -ζ74-ζ73 | -ζ75-ζ72 | -ζ76-ζ7 | -ζ76-ζ7 | -ζ75-ζ72 | orthogonal lifted from D14 |
| ρ9 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | orthogonal lifted from D7 |
| ρ10 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | orthogonal lifted from D7 |
| ρ11 | 2 | -2 | 0 | 0 | 2 | -2 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | -ζ75-ζ72 | -ζ74-ζ73 | -ζ76-ζ7 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | -ζ75-ζ72 | -ζ75-ζ72 | -ζ76-ζ7 | -ζ74-ζ73 | -ζ74-ζ73 | -ζ76-ζ7 | orthogonal lifted from D14 |
| ρ12 | 2 | -2 | 0 | 0 | 2 | -2 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | -ζ76-ζ7 | -ζ75-ζ72 | -ζ74-ζ73 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ76+ζ7 | -ζ76-ζ7 | -ζ76-ζ7 | -ζ74-ζ73 | -ζ75-ζ72 | -ζ75-ζ72 | -ζ74-ζ73 | orthogonal lifted from D14 |
| ρ13 | 2 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | -ζ76-ζ7 | -ζ75-ζ72 | -ζ74-ζ73 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | ζ32ζ76-ζ32ζ7+ζ76 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7+ζ7 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73+ζ73 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72+ζ72 | ζ3ζ75-ζ3ζ72+ζ75 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73+ζ73 | orthogonal faithful |
| ρ14 | 2 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | -ζ76-ζ7 | -ζ75-ζ72 | -ζ74-ζ73 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7+ζ7 | ζ32ζ76-ζ32ζ7+ζ76 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73+ζ73 | ζ3ζ75-ζ3ζ72+ζ75 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72+ζ72 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73+ζ73 | orthogonal faithful |
| ρ15 | 2 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | -ζ74-ζ73 | -ζ76-ζ7 | -ζ75-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73+ζ73 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73+ζ73 | ζ3ζ75-ζ3ζ72+ζ75 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7+ζ7 | ζ32ζ76-ζ32ζ7+ζ76 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72+ζ72 | orthogonal faithful |
| ρ16 | 2 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | -ζ75-ζ72 | -ζ74-ζ73 | -ζ76-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72+ζ72 | ζ3ζ75-ζ3ζ72+ζ75 | ζ32ζ76-ζ32ζ7+ζ76 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73+ζ73 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73+ζ73 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7+ζ7 | orthogonal faithful |
| ρ17 | 2 | 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | orthogonal lifted from D21 |
| ρ18 | 2 | 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | orthogonal lifted from D21 |
| ρ19 | 2 | 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | orthogonal lifted from D21 |
| ρ20 | 2 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | -ζ75-ζ72 | -ζ74-ζ73 | -ζ76-ζ7 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | ζ3ζ75-ζ3ζ72+ζ75 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72+ζ72 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7+ζ7 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73+ζ73 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73+ζ73 | ζ32ζ76-ζ32ζ7+ζ76 | orthogonal faithful |
| ρ21 | 2 | -2 | 0 | 0 | -1 | 1 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | -ζ74-ζ73 | -ζ76-ζ7 | -ζ75-ζ72 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73+ζ73 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73+ζ73 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72+ζ72 | ζ32ζ76-ζ32ζ7+ζ76 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7+ζ7 | ζ3ζ75-ζ3ζ72+ζ75 | orthogonal faithful |
| ρ22 | 2 | 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | orthogonal lifted from D21 |
| ρ23 | 2 | 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | orthogonal lifted from D21 |
| ρ24 | 2 | 2 | 0 | 0 | -1 | -1 | ζ76+ζ7 | ζ74+ζ73 | ζ75+ζ72 | ζ76+ζ7 | ζ75+ζ72 | ζ74+ζ73 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | ζ32ζ76-ζ32ζ7-ζ7 | -ζ32ζ76+ζ32ζ7-ζ76 | -ζ32ζ74+ζ32ζ73-ζ74 | -ζ3ζ75+ζ3ζ72-ζ75 | ζ3ζ75-ζ3ζ72-ζ72 | -ζ3ζ74+ζ3ζ73-ζ74 | orthogonal lifted from D21 |
►On 42 points
Generators in S42
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42)
(1 42)(2 41)(3 40)(4 39)(5 38)(6 37)(7 36)(8 35)(9 34)(10 33)(11 32)(12 31)(13 30)(14 29)(15 28)(16 27)(17 26)(18 25)(19 24)(20 23)(21 22)
G:=sub<Sym(42)| (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42), (1,42)(2,41)(3,40)(4,39)(5,38)(6,37)(7,36)(8,35)(9,34)(10,33)(11,32)(12,31)(13,30)(14,29)(15,28)(16,27)(17,26)(18,25)(19,24)(20,23)(21,22)>;
G:=Group( (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42), (1,42)(2,41)(3,40)(4,39)(5,38)(6,37)(7,36)(8,35)(9,34)(10,33)(11,32)(12,31)(13,30)(14,29)(15,28)(16,27)(17,26)(18,25)(19,24)(20,23)(21,22) );
G=PermutationGroup([[(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42)], [(1,42),(2,41),(3,40),(4,39),(5,38),(6,37),(7,36),(8,35),(9,34),(10,33),(11,32),(12,31),(13,30),(14,29),(15,28),(16,27),(17,26),(18,25),(19,24),(20,23),(21,22)]])
D42 is a maximal subgroup of
D21⋊C4 C3⋊D28 C7⋊D12 D84 C21⋊7D4 C2×S3×D7 Q8⋊D21
D42 is a maximal quotient of Dic42 D84 C21⋊7D4
Matrix representation of D42 ►in GL2(𝔽41) generated by
| 20 | 1 |
| 40 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
G:=sub<GL(2,GF(41))| [20,40,1,0],[0,1,1,0] >;
D42 in GAP, Magma, Sage, TeX
D_{42} % in TeX
G:=Group("D42"); // GroupNames label
G:=SmallGroup(84,14);
// by ID
G=gap.SmallGroup(84,14);
# by ID
G:=PCGroup([4,-2,-2,-3,-7,98,1155]);
// Polycyclic
G:=Group<a,b|a^42=b^2=1,b*a*b=a^-1>;
// generators/relations
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Subgroup lattice of D42 in TeX
Character table of D42 in TeX