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## G = D39order 78 = 2·3·13

### Dihedral group

Aliases: D39, C13⋊S3, C3⋊D13, C391C2, sometimes denoted D78 or Dih39 or Dih78, SmallGroup(78,5)

Series: Derived Chief Lower central Upper central

 Derived series C1 — C39 — D39
 Chief series C1 — C13 — C39 — D39
 Lower central C39 — D39
 Upper central C1

Generators and relations for D39
G = < a,b | a39=b2=1, bab=a-1 >

39C2
13S3
3D13

Character table of D39

 class 1 2 3 13A 13B 13C 13D 13E 13F 39A 39B 39C 39D 39E 39F 39G 39H 39I 39J 39K 39L size 1 39 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 trivial ρ2 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 linear of order 2 ρ3 2 0 -1 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 orthogonal lifted from S3 ρ4 2 0 2 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ1310+ζ133 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 ζ137+ζ136 ζ138+ζ135 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 ζ1311+ζ132 ζ1312+ζ13 ζ1312+ζ13 orthogonal lifted from D13 ρ5 2 0 2 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ138+ζ135 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 ζ1310+ζ133 ζ139+ζ134 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ1312+ζ13 ζ137+ζ136 ζ137+ζ136 orthogonal lifted from D13 ρ6 2 0 2 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ137+ζ136 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 ζ1312+ζ13 ζ1310+ζ133 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 ζ139+ζ134 ζ1311+ζ132 ζ1311+ζ132 orthogonal lifted from D13 ρ7 2 0 2 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ1312+ζ13 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ1311+ζ132 ζ137+ζ136 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 ζ138+ζ135 ζ139+ζ134 ζ139+ζ134 orthogonal lifted from D13 ρ8 2 0 2 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ1311+ζ132 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 ζ139+ζ134 ζ1312+ζ13 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ1310+ζ133 ζ138+ζ135 ζ138+ζ135 orthogonal lifted from D13 ρ9 2 0 2 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ139+ζ134 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ138+ζ135 ζ1311+ζ132 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 ζ137+ζ136 ζ1310+ζ133 ζ1310+ζ133 orthogonal lifted from D13 ρ10 2 0 -1 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 orthogonal faithful ρ11 2 0 -1 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 orthogonal faithful ρ12 2 0 -1 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 orthogonal faithful ρ13 2 0 -1 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 orthogonal faithful ρ14 2 0 -1 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 orthogonal faithful ρ15 2 0 -1 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ1312+ζ13 ζ139+ζ134 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 orthogonal faithful ρ16 2 0 -1 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 orthogonal faithful ρ17 2 0 -1 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 orthogonal faithful ρ18 2 0 -1 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 ζ138+ζ135 ζ137+ζ136 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 orthogonal faithful ρ19 2 0 -1 ζ139+ζ134 ζ138+ζ135 ζ1310+ζ133 ζ1312+ζ13 ζ137+ζ136 ζ1311+ζ132 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 orthogonal faithful ρ20 2 0 -1 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 orthogonal faithful ρ21 2 0 -1 ζ137+ζ136 ζ1312+ζ13 ζ1311+ζ132 ζ138+ζ135 ζ139+ζ134 ζ1310+ζ133 -ζ32ζ137+ζ32ζ136-ζ137 ζ32ζ139-ζ32ζ134-ζ134 -ζ3ζ1312+ζ3ζ13-ζ1312 ζ3ζ1311-ζ3ζ132-ζ132 -ζ32ζ138+ζ32ζ135-ζ138 ζ32ζ138-ζ32ζ135-ζ135 -ζ3ζ1311+ζ3ζ132-ζ1311 ζ3ζ1312-ζ3ζ13-ζ13 ζ3ζ139-ζ3ζ134-ζ134 ζ32ζ137-ζ32ζ136-ζ136 ζ32ζ1310-ζ32ζ133-ζ133 ζ3ζ1310-ζ3ζ133-ζ133 orthogonal faithful

Smallest permutation representation of D39
On 39 points
Generators in S39
```(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39)
(1 39)(2 38)(3 37)(4 36)(5 35)(6 34)(7 33)(8 32)(9 31)(10 30)(11 29)(12 28)(13 27)(14 26)(15 25)(16 24)(17 23)(18 22)(19 21)```

`G:=sub<Sym(39)| (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39), (1,39)(2,38)(3,37)(4,36)(5,35)(6,34)(7,33)(8,32)(9,31)(10,30)(11,29)(12,28)(13,27)(14,26)(15,25)(16,24)(17,23)(18,22)(19,21)>;`

`G:=Group( (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39), (1,39)(2,38)(3,37)(4,36)(5,35)(6,34)(7,33)(8,32)(9,31)(10,30)(11,29)(12,28)(13,27)(14,26)(15,25)(16,24)(17,23)(18,22)(19,21) );`

`G=PermutationGroup([[(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39)], [(1,39),(2,38),(3,37),(4,36),(5,35),(6,34),(7,33),(8,32),(9,31),(10,30),(11,29),(12,28),(13,27),(14,26),(15,25),(16,24),(17,23),(18,22),(19,21)]])`

D39 is a maximal subgroup of   S3×D13  D117  D39⋊C3  C3⋊D39  C13⋊S4  D195
D39 is a maximal quotient of   Dic39  D117  C3⋊D39  C13⋊S4  D195

Matrix representation of D39 in GL2(𝔽79) generated by

 38 23 56 36
,
 38 23 30 41
`G:=sub<GL(2,GF(79))| [38,56,23,36],[38,30,23,41] >;`

D39 in GAP, Magma, Sage, TeX

`D_{39}`
`% in TeX`

`G:=Group("D39");`
`// GroupNames label`

`G:=SmallGroup(78,5);`
`// by ID`

`G=gap.SmallGroup(78,5);`
`# by ID`

`G:=PCGroup([3,-2,-3,-13,25,650]);`
`// Polycyclic`

`G:=Group<a,b|a^39=b^2=1,b*a*b=a^-1>;`
`// generators/relations`

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׿
×
𝔽