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## G = C3⋊D15order 90 = 2·32·5

### The semidirect product of C3 and D15 acting via D15/C15=C2

Aliases: C3⋊D15, C151S3, C322D5, C5⋊(C3⋊S3), (C3×C15)⋊1C2, SmallGroup(90,9)

Series: Derived Chief Lower central Upper central

 Derived series C1 — C3×C15 — C3⋊D15
 Chief series C1 — C5 — C15 — C3×C15 — C3⋊D15
 Lower central C3×C15 — C3⋊D15
 Upper central C1

Generators and relations for C3⋊D15
G = < a,b,c | a3=b15=c2=1, ab=ba, cac=a-1, cbc=b-1 >

Character table of C3⋊D15

 class 1 2 3A 3B 3C 3D 5A 5B 15A 15B 15C 15D 15E 15F 15G 15H 15I 15J 15K 15L 15M 15N 15O 15P size 1 45 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 trivial ρ2 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 linear of order 2 ρ3 2 0 -1 -1 2 -1 2 2 -1 2 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 orthogonal lifted from S3 ρ4 2 0 -1 2 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 -1 2 orthogonal lifted from S3 ρ5 2 0 2 -1 -1 -1 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 -1 orthogonal lifted from S3 ρ6 2 0 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 orthogonal lifted from S3 ρ7 2 0 2 2 2 2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 orthogonal lifted from D5 ρ8 2 0 2 2 2 2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 orthogonal lifted from D5 ρ9 2 0 -1 -1 -1 2 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 orthogonal lifted from D15 ρ10 2 0 -1 -1 -1 2 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 orthogonal lifted from D15 ρ11 2 0 -1 -1 2 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 orthogonal lifted from D15 ρ12 2 0 2 -1 -1 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 orthogonal lifted from D15 ρ13 2 0 -1 2 -1 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1+√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1+√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1-√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ14 2 0 -1 -1 -1 2 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 orthogonal lifted from D15 ρ15 2 0 -1 -1 2 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 orthogonal lifted from D15 ρ16 2 0 -1 -1 2 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 orthogonal lifted from D15 ρ17 2 0 2 -1 -1 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 orthogonal lifted from D15 ρ18 2 0 2 -1 -1 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 orthogonal lifted from D15 ρ19 2 0 -1 2 -1 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1-√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1-√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1+√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ20 2 0 -1 -1 -1 2 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 orthogonal lifted from D15 ρ21 2 0 -1 2 -1 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1-√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1-√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1+√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ22 2 0 2 -1 -1 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 orthogonal lifted from D15 ρ23 2 0 -1 2 -1 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1+√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1+√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1-√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ24 2 0 -1 -1 2 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 orthogonal lifted from D15

Smallest permutation representation of C3⋊D15
On 45 points
Generators in S45
```(1 38 18)(2 39 19)(3 40 20)(4 41 21)(5 42 22)(6 43 23)(7 44 24)(8 45 25)(9 31 26)(10 32 27)(11 33 28)(12 34 29)(13 35 30)(14 36 16)(15 37 17)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15)(16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30)(31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45)
(1 15)(2 14)(3 13)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9)(16 39)(17 38)(18 37)(19 36)(20 35)(21 34)(22 33)(23 32)(24 31)(25 45)(26 44)(27 43)(28 42)(29 41)(30 40)```

`G:=sub<Sym(45)| (1,38,18)(2,39,19)(3,40,20)(4,41,21)(5,42,22)(6,43,23)(7,44,24)(8,45,25)(9,31,26)(10,32,27)(11,33,28)(12,34,29)(13,35,30)(14,36,16)(15,37,17), (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)(16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30)(31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45), (1,15)(2,14)(3,13)(4,12)(5,11)(6,10)(7,9)(16,39)(17,38)(18,37)(19,36)(20,35)(21,34)(22,33)(23,32)(24,31)(25,45)(26,44)(27,43)(28,42)(29,41)(30,40)>;`

`G:=Group( (1,38,18)(2,39,19)(3,40,20)(4,41,21)(5,42,22)(6,43,23)(7,44,24)(8,45,25)(9,31,26)(10,32,27)(11,33,28)(12,34,29)(13,35,30)(14,36,16)(15,37,17), (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)(16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30)(31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45), (1,15)(2,14)(3,13)(4,12)(5,11)(6,10)(7,9)(16,39)(17,38)(18,37)(19,36)(20,35)(21,34)(22,33)(23,32)(24,31)(25,45)(26,44)(27,43)(28,42)(29,41)(30,40) );`

`G=PermutationGroup([[(1,38,18),(2,39,19),(3,40,20),(4,41,21),(5,42,22),(6,43,23),(7,44,24),(8,45,25),(9,31,26),(10,32,27),(11,33,28),(12,34,29),(13,35,30),(14,36,16),(15,37,17)], [(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30),(31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45)], [(1,15),(2,14),(3,13),(4,12),(5,11),(6,10),(7,9),(16,39),(17,38),(18,37),(19,36),(20,35),(21,34),(22,33),(23,32),(24,31),(25,45),(26,44),(27,43),(28,42),(29,41),(30,40)]])`

C3⋊D15 is a maximal subgroup of
C32⋊F5  D5×C3⋊S3  S3×D15  He3⋊D5  C3⋊D45  C33⋊D5  A4⋊D15  C3⋊D75  C15⋊D15
C3⋊D15 is a maximal quotient of
C3⋊Dic15  C3⋊D45  C32⋊D15  C33⋊D5  A4⋊D15  C3⋊D75  C15⋊D15

Matrix representation of C3⋊D15 in GL4(𝔽31) generated by

 19 3 0 0 28 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
,
 30 18 0 0 13 13 0 0 0 0 28 8 0 0 12 9
,
 30 18 0 0 0 1 0 0 0 0 19 5 0 0 21 12
`G:=sub<GL(4,GF(31))| [19,28,0,0,3,11,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1],[30,13,0,0,18,13,0,0,0,0,28,12,0,0,8,9],[30,0,0,0,18,1,0,0,0,0,19,21,0,0,5,12] >;`

C3⋊D15 in GAP, Magma, Sage, TeX

`C_3\rtimes D_{15}`
`% in TeX`

`G:=Group("C3:D15");`
`// GroupNames label`

`G:=SmallGroup(90,9);`
`// by ID`

`G=gap.SmallGroup(90,9);`
`# by ID`

`G:=PCGroup([4,-2,-3,-3,-5,33,146,1155]);`
`// Polycyclic`

`G:=Group<a,b,c|a^3=b^15=c^2=1,a*b=b*a,c*a*c=a^-1,c*b*c=b^-1>;`
`// generators/relations`

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