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## G = D51order 102 = 2·3·17

### Dihedral group

Aliases: D51, C17⋊S3, C3⋊D17, C511C2, sometimes denoted D102 or Dih51 or Dih102, SmallGroup(102,3)

Series: Derived Chief Lower central Upper central

 Derived series C1 — C51 — D51
 Chief series C1 — C17 — C51 — D51
 Lower central C51 — D51
 Upper central C1

Generators and relations for D51
G = < a,b | a51=b2=1, bab=a-1 >

51C2
17S3
3D17

Character table of D51

 class 1 2 3 17A 17B 17C 17D 17E 17F 17G 17H 51A 51B 51C 51D 51E 51F 51G 51H 51I 51J 51K 51L 51M 51N 51O 51P size 1 51 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 trivial ρ2 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 linear of order 2 ρ3 2 0 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 orthogonal lifted from S3 ρ4 2 0 2 ζ1711+ζ176 ζ1712+ζ175 ζ1715+ζ172 ζ1716+ζ17 ζ1713+ζ174 ζ1710+ζ177 ζ179+ζ178 ζ1714+ζ173 ζ1711+ζ176 ζ179+ζ178 ζ1712+ζ175 ζ1715+ζ172 ζ1716+ζ17 ζ1713+ζ174 ζ1710+ζ177 ζ1710+ζ177 ζ1713+ζ174 ζ1716+ζ17 ζ1715+ζ172 ζ1712+ζ175 ζ179+ζ178 ζ1711+ζ176 ζ1714+ζ173 ζ1714+ζ173 orthogonal lifted from D17 ρ5 2 0 2 ζ1712+ζ175 ζ1710+ζ177 ζ1713+ζ174 ζ1715+ζ172 ζ179+ζ178 ζ1714+ζ173 ζ1716+ζ17 ζ1711+ζ176 ζ1712+ζ175 ζ1716+ζ17 ζ1710+ζ177 ζ1713+ζ174 ζ1715+ζ172 ζ179+ζ178 ζ1714+ζ173 ζ1714+ζ173 ζ179+ζ178 ζ1715+ζ172 ζ1713+ζ174 ζ1710+ζ177 ζ1716+ζ17 ζ1712+ζ175 ζ1711+ζ176 ζ1711+ζ176 orthogonal lifted from D17 ρ6 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-ζ3ζ1710+ζ3ζ177-ζ1710 ζ32ζ1715-ζ32ζ172-ζ172 ζ3ζ1714-ζ3ζ173-ζ173 -ζ32ζ179+ζ32ζ178-ζ179 -ζ3ζ1713+ζ3ζ174-ζ1713 -ζ32ζ1716+ζ32ζ17-ζ1716 -ζ32ζ1711+ζ32ζ176-ζ1711 -ζ3ζ1711+ζ3ζ176-ζ1711 ζ32ζ1716-ζ32ζ17-ζ17 ζ3ζ1713-ζ3ζ174-ζ174 ζ32ζ179-ζ32ζ178-ζ178 -ζ3ζ1714+ζ3ζ173-ζ1714 ζ3ζ1715-ζ3ζ172-ζ172 -ζ32ζ1710+ζ32ζ177-ζ1710 -ζ3ζ1712+ζ3ζ175-ζ1712 ζ3ζ1712-ζ3ζ175-ζ175 orthogonal faithful ρ24 2 0 -1 ζ1710+ζ177 ζ1714+ζ173 ζ179+ζ178 ζ1713+ζ174 ζ1716+ζ17 ζ1711+ζ176 ζ1715+ζ172 ζ1712+ζ175 -ζ32ζ1710+ζ32ζ177-ζ1710 ζ3ζ1715-ζ3ζ172-ζ172 -ζ3ζ1714+ζ3ζ173-ζ1714 ζ32ζ179-ζ32ζ178-ζ178 ζ3ζ1713-ζ3ζ174-ζ174 ζ32ζ1716-ζ32ζ17-ζ17 -ζ3ζ1711+ζ3ζ176-ζ1711 -ζ32ζ1711+ζ32ζ176-ζ1711 -ζ32ζ1716+ζ32ζ17-ζ1716 -ζ3ζ1713+ζ3ζ174-ζ1713 -ζ32ζ179+ζ32ζ178-ζ179 ζ3ζ1714-ζ3ζ173-ζ173 ζ32ζ1715-ζ32ζ172-ζ172 -ζ3ζ1710+ζ3ζ177-ζ1710 ζ3ζ1712-ζ3ζ175-ζ175 -ζ3ζ1712+ζ3ζ175-ζ1712 orthogonal faithful ρ25 2 0 -1 ζ1711+ζ176 ζ1712+ζ175 ζ1715+ζ172 ζ1716+ζ17 ζ1713+ζ174 ζ1710+ζ177 ζ179+ζ178 ζ1714+ζ173 -ζ32ζ1711+ζ32ζ176-ζ1711 ζ32ζ179-ζ32ζ178-ζ178 -ζ3ζ1712+ζ3ζ175-ζ1712 ζ32ζ1715-ζ32ζ172-ζ172 -ζ32ζ1716+ζ32ζ17-ζ1716 ζ3ζ1713-ζ3ζ174-ζ174 -ζ32ζ1710+ζ32ζ177-ζ1710 -ζ3ζ1710+ζ3ζ177-ζ1710 -ζ3ζ1713+ζ3ζ174-ζ1713 ζ32ζ1716-ζ32ζ17-ζ17 ζ3ζ1715-ζ3ζ172-ζ172 ζ3ζ1712-ζ3ζ175-ζ175 -ζ32ζ179+ζ32ζ178-ζ179 -ζ3ζ1711+ζ3ζ176-ζ1711 -ζ3ζ1714+ζ3ζ173-ζ1714 ζ3ζ1714-ζ3ζ173-ζ173 orthogonal faithful ρ26 2 0 -1 ζ179+ζ178 ζ1716+ζ17 ζ1714+ζ173 ζ1710+ζ177 ζ1711+ζ176 ζ1715+ζ172 ζ1712+ζ175 ζ1713+ζ174 -ζ32ζ179+ζ32ζ178-ζ179 -ζ3ζ1712+ζ3ζ175-ζ1712 ζ32ζ1716-ζ32ζ17-ζ17 ζ3ζ1714-ζ3ζ173-ζ173 -ζ32ζ1710+ζ32ζ177-ζ1710 -ζ3ζ1711+ζ3ζ176-ζ1711 ζ32ζ1715-ζ32ζ172-ζ172 ζ3ζ1715-ζ3ζ172-ζ172 -ζ32ζ1711+ζ32ζ176-ζ1711 -ζ3ζ1710+ζ3ζ177-ζ1710 -ζ3ζ1714+ζ3ζ173-ζ1714 -ζ32ζ1716+ζ32ζ17-ζ1716 ζ3ζ1712-ζ3ζ175-ζ175 ζ32ζ179-ζ32ζ178-ζ178 -ζ3ζ1713+ζ3ζ174-ζ1713 ζ3ζ1713-ζ3ζ174-ζ174 orthogonal faithful ρ27 2 0 -1 ζ1713+ζ174 ζ179+ζ178 ζ1710+ζ177 ζ1712+ζ175 ζ1714+ζ173 ζ1716+ζ17 ζ1711+ζ176 ζ1715+ζ172 -ζ3ζ1713+ζ3ζ174-ζ1713 -ζ3ζ1711+ζ3ζ176-ζ1711 ζ32ζ179-ζ32ζ178-ζ178 -ζ32ζ1710+ζ32ζ177-ζ1710 ζ3ζ1712-ζ3ζ175-ζ175 ζ3ζ1714-ζ3ζ173-ζ173 -ζ32ζ1716+ζ32ζ17-ζ1716 ζ32ζ1716-ζ32ζ17-ζ17 -ζ3ζ1714+ζ3ζ173-ζ1714 -ζ3ζ1712+ζ3ζ175-ζ1712 -ζ3ζ1710+ζ3ζ177-ζ1710 -ζ32ζ179+ζ32ζ178-ζ179 -ζ32ζ1711+ζ32ζ176-ζ1711 ζ3ζ1713-ζ3ζ174-ζ174 ζ3ζ1715-ζ3ζ172-ζ172 ζ32ζ1715-ζ32ζ172-ζ172 orthogonal faithful

Smallest permutation representation of D51
On 51 points
Generators in S51
```(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51)
(1 51)(2 50)(3 49)(4 48)(5 47)(6 46)(7 45)(8 44)(9 43)(10 42)(11 41)(12 40)(13 39)(14 38)(15 37)(16 36)(17 35)(18 34)(19 33)(20 32)(21 31)(22 30)(23 29)(24 28)(25 27)```

`G:=sub<Sym(51)| (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51), (1,51)(2,50)(3,49)(4,48)(5,47)(6,46)(7,45)(8,44)(9,43)(10,42)(11,41)(12,40)(13,39)(14,38)(15,37)(16,36)(17,35)(18,34)(19,33)(20,32)(21,31)(22,30)(23,29)(24,28)(25,27)>;`

`G:=Group( (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51), (1,51)(2,50)(3,49)(4,48)(5,47)(6,46)(7,45)(8,44)(9,43)(10,42)(11,41)(12,40)(13,39)(14,38)(15,37)(16,36)(17,35)(18,34)(19,33)(20,32)(21,31)(22,30)(23,29)(24,28)(25,27) );`

`G=PermutationGroup([[(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51)], [(1,51),(2,50),(3,49),(4,48),(5,47),(6,46),(7,45),(8,44),(9,43),(10,42),(11,41),(12,40),(13,39),(14,38),(15,37),(16,36),(17,35),(18,34),(19,33),(20,32),(21,31),(22,30),(23,29),(24,28),(25,27)]])`

D51 is a maximal subgroup of   S3×D17  D153  C3⋊D51  C17⋊S4
D51 is a maximal quotient of   Dic51  D153  C3⋊D51  C17⋊S4

Matrix representation of D51 in GL2(𝔽103) generated by

 59 21 41 60
,
 2 10 10 101
`G:=sub<GL(2,GF(103))| [59,41,21,60],[2,10,10,101] >;`

D51 in GAP, Magma, Sage, TeX

`D_{51}`
`% in TeX`

`G:=Group("D51");`
`// GroupNames label`

`G:=SmallGroup(102,3);`
`// by ID`

`G=gap.SmallGroup(102,3);`
`# by ID`

`G:=PCGroup([3,-2,-3,-17,25,866]);`
`// Polycyclic`

`G:=Group<a,b|a^51=b^2=1,b*a*b=a^-1>;`
`// generators/relations`

Export

׿
×
𝔽