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## G = C3×D15order 90 = 2·32·5

### Direct product of C3 and D15

Aliases: C3×D15, C151C6, C152S3, C321D5, C5⋊(C3×S3), C3⋊(C3×D5), (C3×C15)⋊2C2, SmallGroup(90,7)

Series: Derived Chief Lower central Upper central

 Derived series C1 — C15 — C3×D15
 Chief series C1 — C5 — C15 — C3×C15 — C3×D15
 Lower central C15 — C3×D15
 Upper central C1 — C3

Generators and relations for C3×D15
G = < a,b,c | a3=b15=c2=1, ab=ba, ac=ca, cbc=b-1 >

Character table of C3×D15

 class 1 2 3A 3B 3C 3D 3E 5A 5B 6A 6B 15A 15B 15C 15D 15E 15F 15G 15H 15I 15J 15K 15L 15M 15N 15O 15P size 1 15 1 1 2 2 2 2 2 15 15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 trivial ρ2 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 linear of order 2 ρ3 1 1 ζ32 ζ3 ζ3 ζ32 1 1 1 ζ3 ζ32 1 ζ32 ζ32 ζ32 ζ32 1 ζ3 ζ3 1 ζ3 ζ3 ζ3 ζ3 1 ζ32 ζ32 linear of order 3 ρ4 1 -1 ζ32 ζ3 ζ3 ζ32 1 1 1 ζ65 ζ6 1 ζ32 ζ32 ζ32 ζ32 1 ζ3 ζ3 1 ζ3 ζ3 ζ3 ζ3 1 ζ32 ζ32 linear of order 6 ρ5 1 1 ζ3 ζ32 ζ32 ζ3 1 1 1 ζ32 ζ3 1 ζ3 ζ3 ζ3 ζ3 1 ζ32 ζ32 1 ζ32 ζ32 ζ32 ζ32 1 ζ3 ζ3 linear of order 3 ρ6 1 -1 ζ3 ζ32 ζ32 ζ3 1 1 1 ζ6 ζ65 1 ζ3 ζ3 ζ3 ζ3 1 ζ32 ζ32 1 ζ32 ζ32 ζ32 ζ32 1 ζ3 ζ3 linear of order 6 ρ7 2 0 2 2 -1 -1 -1 2 2 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 orthogonal lifted from S3 ρ8 2 0 2 2 -1 -1 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1-√5/2 -1+√5/2 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1-√5/2 -1+√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ9 2 0 2 2 2 2 2 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 orthogonal lifted from D5 ρ10 2 0 2 2 2 2 2 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 orthogonal lifted from D5 ρ11 2 0 2 2 -1 -1 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -1+√5/2 -1-√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ12 2 0 2 2 -1 -1 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -1+√5/2 -1-√5/2 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1+√5/2 -1-√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ13 2 0 2 2 -1 -1 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -1-√5/2 -1+√5/2 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 -1-√5/2 -1+√5/2 orthogonal lifted from D15 ρ14 2 0 -1+√-3 -1-√-3 ζ6 ζ65 -1 2 2 0 0 -1 ζ65 ζ65 ζ65 ζ65 -1 -1-√-3 -1-√-3 -1 ζ6 ζ6 ζ6 ζ6 -1 -1+√-3 -1+√-3 complex lifted from C3×S3 ρ15 2 0 -1-√-3 -1+√-3 ζ65 ζ6 -1 2 2 0 0 -1 ζ6 ζ6 ζ6 ζ6 -1 -1+√-3 -1+√-3 -1 ζ65 ζ65 ζ65 ζ65 -1 -1-√-3 -1-√-3 complex lifted from C3×S3 ρ16 2 0 -1+√-3 -1-√-3 ζ6 ζ65 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ32ζ52+ζ53 ζ32ζ54+ζ5 ζ32ζ5+ζ54 ζ32ζ53+ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ3ζ53+ζ52 ζ3ζ5+ζ54 ζ3ζ54+ζ5 ζ3ζ52+ζ53 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 complex faithful ρ17 2 0 -1+√-3 -1-√-3 -1-√-3 -1+√-3 2 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 -1-√5/2 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 -1-√5/2 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 -1+√5/2 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 -1+√5/2 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 complex lifted from C3×D5 ρ18 2 0 -1-√-3 -1+√-3 -1+√-3 -1-√-3 2 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -1+√5/2 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 -1+√5/2 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 -1-√5/2 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 -1-√5/2 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 complex lifted from C3×D5 ρ19 2 0 -1-√-3 -1+√-3 ζ65 ζ6 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53+ζ52 ζ3ζ5+ζ54 ζ3ζ54+ζ5 ζ3ζ52+ζ53 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ32ζ52+ζ53 ζ32ζ54+ζ5 ζ32ζ5+ζ54 ζ32ζ53+ζ52 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 complex faithful ρ20 2 0 -1-√-3 -1+√-3 ζ65 ζ6 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ54+ζ5 ζ3ζ53+ζ52 ζ3ζ52+ζ53 ζ3ζ5+ζ54 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ32ζ5+ζ54 ζ32ζ52+ζ53 ζ32ζ53+ζ52 ζ32ζ54+ζ5 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 complex faithful ρ21 2 0 -1-√-3 -1+√-3 ζ65 ζ6 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ3ζ5+ζ54 ζ3ζ52+ζ53 ζ3ζ53+ζ52 ζ3ζ54+ζ5 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ32ζ54+ζ5 ζ32ζ53+ζ52 ζ32ζ52+ζ53 ζ32ζ5+ζ54 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 complex faithful ρ22 2 0 -1+√-3 -1-√-3 ζ6 ζ65 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ32ζ5+ζ54 ζ32ζ52+ζ53 ζ32ζ53+ζ52 ζ32ζ54+ζ5 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ54+ζ5 ζ3ζ53+ζ52 ζ3ζ52+ζ53 ζ3ζ5+ζ54 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 complex faithful ρ23 2 0 -1+√-3 -1-√-3 ζ6 ζ65 -1 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ32ζ54+ζ5 ζ32ζ53+ζ52 ζ32ζ52+ζ53 ζ32ζ5+ζ54 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ5+ζ54 ζ3ζ52+ζ53 ζ3ζ53+ζ52 ζ3ζ54+ζ5 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 complex faithful ρ24 2 0 -1-√-3 -1+√-3 ζ65 ζ6 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ3ζ52+ζ53 ζ3ζ54+ζ5 ζ3ζ5+ζ54 ζ3ζ53+ζ52 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ32ζ53+ζ52 ζ32ζ5+ζ54 ζ32ζ54+ζ5 ζ32ζ52+ζ53 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 complex faithful ρ25 2 0 -1+√-3 -1-√-3 ζ6 ζ65 -1 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -ζ3ζ54+ζ3ζ5-ζ54 ζ32ζ53+ζ52 ζ32ζ5+ζ54 ζ32ζ54+ζ5 ζ32ζ52+ζ53 -ζ32ζ54+ζ32ζ5-ζ54 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 -ζ3ζ53+ζ3ζ52-ζ53 ζ3ζ52+ζ53 ζ3ζ54+ζ5 ζ3ζ5+ζ54 ζ3ζ53+ζ52 ζ3ζ53-ζ3ζ52-ζ52 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 complex faithful ρ26 2 0 -1-√-3 -1+√-3 -1+√-3 -1-√-3 2 -1-√5/2 -1+√5/2 0 0 -1-√5/2 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 -1-√5/2 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 -1+√5/2 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 -1+√5/2 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 complex lifted from C3×D5 ρ27 2 0 -1+√-3 -1-√-3 -1-√-3 -1+√-3 2 -1+√5/2 -1-√5/2 0 0 -1+√5/2 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ54+ζ3ζ5 ζ3ζ53+ζ3ζ52 -1+√5/2 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 -1-√5/2 ζ32ζ53+ζ32ζ52 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ54+ζ32ζ5 ζ32ζ53+ζ32ζ52 -1-√5/2 ζ3ζ53+ζ3ζ52 ζ3ζ54+ζ3ζ5 complex lifted from C3×D5

Permutation representations of C3×D15
On 30 points - transitive group 30T16
Generators in S30
(1 6 11)(2 7 12)(3 8 13)(4 9 14)(5 10 15)(16 26 21)(17 27 22)(18 28 23)(19 29 24)(20 30 25)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15)(16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30)
(1 27)(2 26)(3 25)(4 24)(5 23)(6 22)(7 21)(8 20)(9 19)(10 18)(11 17)(12 16)(13 30)(14 29)(15 28)

G:=sub<Sym(30)| (1,6,11)(2,7,12)(3,8,13)(4,9,14)(5,10,15)(16,26,21)(17,27,22)(18,28,23)(19,29,24)(20,30,25), (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)(16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30), (1,27)(2,26)(3,25)(4,24)(5,23)(6,22)(7,21)(8,20)(9,19)(10,18)(11,17)(12,16)(13,30)(14,29)(15,28)>;

G:=Group( (1,6,11)(2,7,12)(3,8,13)(4,9,14)(5,10,15)(16,26,21)(17,27,22)(18,28,23)(19,29,24)(20,30,25), (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)(16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30), (1,27)(2,26)(3,25)(4,24)(5,23)(6,22)(7,21)(8,20)(9,19)(10,18)(11,17)(12,16)(13,30)(14,29)(15,28) );

G=PermutationGroup([[(1,6,11),(2,7,12),(3,8,13),(4,9,14),(5,10,15),(16,26,21),(17,27,22),(18,28,23),(19,29,24),(20,30,25)], [(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30)], [(1,27),(2,26),(3,25),(4,24),(5,23),(6,22),(7,21),(8,20),(9,19),(10,18),(11,17),(12,16),(13,30),(14,29),(15,28)]])

G:=TransitiveGroup(30,16);

C3×D15 is a maximal subgroup of   C3×S3×D5  D15⋊S3  He3⋊D5  D45⋊C3  C32⋊D15
C3×D15 is a maximal quotient of   He3⋊D5  D45⋊C3

Matrix representation of C3×D15 in GL2(𝔽31) generated by

 5 0 0 5
,
 19 0 9 18
,
 13 2 9 18
G:=sub<GL(2,GF(31))| [5,0,0,5],[19,9,0,18],[13,9,2,18] >;

C3×D15 in GAP, Magma, Sage, TeX

C_3\times D_{15}
% in TeX

G:=Group("C3xD15");
// GroupNames label

G:=SmallGroup(90,7);
// by ID

G=gap.SmallGroup(90,7);
# by ID

G:=PCGroup([4,-2,-3,-3,-5,146,1155]);
// Polycyclic

G:=Group<a,b,c|a^3=b^15=c^2=1,a*b=b*a,a*c=c*a,c*b*c=b^-1>;
// generators/relations

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׿
×
𝔽