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## G = D55order 110 = 2·5·11

### Dihedral group

Aliases: D55, C5⋊D11, C11⋊D5, C551C2, sometimes denoted D110 or Dih55 or Dih110, SmallGroup(110,5)

Series: Derived Chief Lower central Upper central

 Derived series C1 — C55 — D55
 Chief series C1 — C11 — C55 — D55
 Lower central C55 — D55
 Upper central C1

Generators and relations for D55
G = < a,b | a55=b2=1, bab=a-1 >

55C2
11D5
5D11

Character table of D55

 class 1 2 5A 5B 11A 11B 11C 11D 11E 55A 55B 55C 55D 55E 55F 55G 55H 55I 55J 55K 55L 55M 55N 55O 55P 55Q 55R 55S 55T size 1 55 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ρ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 trivial ρ2 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 linear of order 2 ρ3 2 0 -1+√5/2 -1-√5/2 2 2 2 2 2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 orthogonal lifted from D5 ρ4 2 0 -1-√5/2 -1+√5/2 2 2 2 2 2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1+√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1-√5/2 -1+√5/2 orthogonal lifted from D5 ρ5 2 0 2 2 ζ117+ζ114 ζ1110+ζ11 ζ116+ζ115 ζ118+ζ113 ζ119+ζ112 ζ116+ζ115 ζ118+ζ113 ζ1110+ζ11 ζ1110+ζ11 ζ118+ζ113 ζ116+ζ115 ζ117+ζ114 ζ119+ζ112 ζ119+ζ112 ζ119+ζ112 ζ117+ζ114 ζ116+ζ115 ζ118+ζ113 ζ1110+ζ11 ζ1110+ζ11 ζ118+ζ113 ζ116+ζ115 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ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ54ζ113+ζ5ζ118 orthogonal faithful ρ22 2 0 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ1110+ζ11 ζ118+ζ113 ζ117+ζ114 ζ119+ζ112 ζ116+ζ115 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 ζ54ζ114+ζ5ζ117 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ54ζ112+ζ5ζ119 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ54ζ116+ζ5ζ115 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 orthogonal faithful ρ23 2 0 -1-√5/2 -1+√5/2 ζ116+ζ115 ζ117+ζ114 ζ119+ζ112 ζ1110+ζ11 ζ118+ζ113 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ54ζ114+ζ5ζ117 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 ζ54ζ112+ζ5ζ119 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ54ζ116+ζ5ζ115 orthogonal faithful ρ24 2 0 -1-√5/2 -1+√5/2 ζ119+ζ112 ζ116+ζ115 ζ118+ζ113 ζ117+ζ114 ζ1110+ζ11 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ54ζ114+ζ5ζ117 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ54ζ116+ζ5ζ115 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 ζ54ζ112+ζ5ζ119 orthogonal faithful ρ25 2 0 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ116+ζ115 ζ117+ζ114 ζ119+ζ112 ζ1110+ζ11 ζ118+ζ113 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ54ζ116+ζ5ζ115 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ54ζ114+ζ5ζ117 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 ζ54ζ112+ζ5ζ119 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ53ζ115+ζ52ζ116 orthogonal faithful ρ26 2 0 -1-√5/2 -1+√5/2 ζ1110+ζ11 ζ118+ζ113 ζ117+ζ114 ζ119+ζ112 ζ116+ζ115 ζ54ζ114+ζ5ζ117 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ54ζ112+ζ5ζ119 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ54ζ116+ζ5ζ115 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 orthogonal faithful ρ27 2 0 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ1110+ζ11 ζ118+ζ113 ζ117+ζ114 ζ119+ζ112 ζ116+ζ115 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ54ζ116+ζ5ζ115 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ112+ζ5ζ119 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ114+ζ5ζ117 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 orthogonal faithful ρ28 2 0 -1+√5/2 -1-√5/2 ζ118+ζ113 ζ119+ζ112 ζ1110+ζ11 ζ116+ζ115 ζ117+ζ114 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 ζ54ζ116+ζ5ζ115 ζ54ζ112+ζ5ζ119 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ54ζ114+ζ5ζ117 ζ53ζ118+ζ52ζ113 orthogonal faithful ρ29 2 0 -1-√5/2 -1+√5/2 ζ117+ζ114 ζ1110+ζ11 ζ116+ζ115 ζ118+ζ113 ζ119+ζ112 ζ54ζ116+ζ5ζ115 ζ54ζ118+ζ5ζ113 ζ54ζ1110+ζ5ζ11 ζ54ζ11+ζ5ζ1110 ζ54ζ113+ζ5ζ118 ζ54ζ115+ζ5ζ116 ζ54ζ117+ζ5ζ114 ζ54ζ119+ζ5ζ112 ζ54ζ112+ζ5ζ119 ζ53ζ112+ζ52ζ119 ζ53ζ114+ζ52ζ117 ζ53ζ116+ζ52ζ115 ζ53ζ118+ζ52ζ113 ζ53ζ1110+ζ52ζ11 ζ53ζ11+ζ52ζ1110 ζ53ζ113+ζ52ζ118 ζ53ζ115+ζ52ζ116 ζ53ζ117+ζ52ζ114 ζ53ζ119+ζ52ζ112 ζ54ζ114+ζ5ζ117 orthogonal faithful

Smallest permutation representation of D55
On 55 points
Generators in S55
```(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55)
(1 55)(2 54)(3 53)(4 52)(5 51)(6 50)(7 49)(8 48)(9 47)(10 46)(11 45)(12 44)(13 43)(14 42)(15 41)(16 40)(17 39)(18 38)(19 37)(20 36)(21 35)(22 34)(23 33)(24 32)(25 31)(26 30)(27 29)```

`G:=sub<Sym(55)| (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55), (1,55)(2,54)(3,53)(4,52)(5,51)(6,50)(7,49)(8,48)(9,47)(10,46)(11,45)(12,44)(13,43)(14,42)(15,41)(16,40)(17,39)(18,38)(19,37)(20,36)(21,35)(22,34)(23,33)(24,32)(25,31)(26,30)(27,29)>;`

`G:=Group( (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55), (1,55)(2,54)(3,53)(4,52)(5,51)(6,50)(7,49)(8,48)(9,47)(10,46)(11,45)(12,44)(13,43)(14,42)(15,41)(16,40)(17,39)(18,38)(19,37)(20,36)(21,35)(22,34)(23,33)(24,32)(25,31)(26,30)(27,29) );`

`G=PermutationGroup([[(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55)], [(1,55),(2,54),(3,53),(4,52),(5,51),(6,50),(7,49),(8,48),(9,47),(10,46),(11,45),(12,44),(13,43),(14,42),(15,41),(16,40),(17,39),(18,38),(19,37),(20,36),(21,35),(22,34),(23,33),(24,32),(25,31),(26,30),(27,29)]])`

D55 is a maximal subgroup of   D5×D11  D165
D55 is a maximal quotient of   Dic55  D165

Matrix representation of D55 in GL2(𝔽331) generated by

 134 168 163 276
,
 134 168 100 197
`G:=sub<GL(2,GF(331))| [134,163,168,276],[134,100,168,197] >;`

D55 in GAP, Magma, Sage, TeX

`D_{55}`
`% in TeX`

`G:=Group("D55");`
`// GroupNames label`

`G:=SmallGroup(110,5);`
`// by ID`

`G=gap.SmallGroup(110,5);`
`# by ID`

`G:=PCGroup([3,-2,-5,-11,49,902]);`
`// Polycyclic`

`G:=Group<a,b|a^55=b^2=1,b*a*b=a^-1>;`
`// generators/relations`

Export

׿
×
𝔽